Cette conférence scientifique réunit des chercheurs autour des modèles mathématiques structurés et de leurs applications concrètes en dynamique des populations. L’intervenant principal, le docteur Ramsès Djidjou-Demasse, chercheur au CNRS et à l’IRD, démontre comment le vivant doit impérativement guider la formulation des équations.
Ce qu’il faut retenir
- La primauté de la biologie sur les équations : le mathématicien ne doit jamais plaquer un modèle préfabriqué sur le vivant, mais construire ses outils à partir des observations biologiques réelles.
- La supériorité des modèles continus sur les compartiments : l’usage d’équations aux dérivées partielles capture beaucoup plus fidèlement les temps de latence biologique que les modèles discrets classiques.
- L’efficacité redoutable du ciblage démographique : face à une épidémie, protéger rapidement et intensément les populations les plus vulnérables réduit drastiquement la mortalité, sans nécessiter de restrictions longues.
La biologie comme point de départ de la modélisation
Le conférencier rejette d’emblée l’étiquette réductrice de simple modélisateur. Pour lui, cette appellation vide la démarche scientifique de son véritable sens.
C’est la nature, la physique ou la biologie qui impose ses règles. Le rôle du mathématicien consiste ensuite à écouter ces phénomènes pour élaborer un système dynamique fidèle.
Pour illustrer ce principe fondamental, il prend l’exemple concret du paludisme. Cette maladie parasitaire frappe durement l’Afrique subsaharienne, notamment le Sénégal.
Lorsqu’un parasite du genre Plasmodium pénètre dans le corps humain, il envahit les globules rouges. La biologie enseigne que la cellule infectée reste intacte pendant quarante-huit heures.
Au terme de ce délai précis, le globule rouge éclate. Il libère alors une trentaine de nouveaux parasites prêts à coloniser d’autres cellules.
Modèles discrets contre modèles continus : le cas du paludisme
Comment traduire mathématiquement cette latence de quarante-huit heures avant l’éclatement cellulaire ? Deux grandes familles de modèles s’affrontent ici.
La première approche utilise un formalisme discret fondé sur des équations différentielles ordinaires. On découpe le temps d’infection en une succession de compartiments horaires.
Pourtant, la confrontation avec des données cliniques issues de la malariathérapie expose une faiblesse majeure. Avec un seul compartiment, le modèle manque d’inertie et prédit une explosion cellulaire beaucoup trop rapide.
Il faut parfois aligner entre cinquante et deux cents compartiments pour mimer correctement la courbe réelle d’un patient. Pire encore, ce nombre optimal change d’un individu à l’autre.
La seconde approche privilégie un modèle structuré continu grâce aux équations aux dérivées partielles. On intègre une variable continue mesurant exactement le temps écoulé depuis l’infection.
Cette équation de transport préserve naturellement l’inertie biologique du globule rouge. Le modèle continu se montre ainsi beaucoup plus robuste et évite le bricolage autour du nombre de compartiments.
Structurer les populations face aux épidémies : l’exemple de la Covid-19
La crise de la Covid-19 a rappelé à quel point la structure d’une population influence la dynamique d’une maladie respiratoire.
L’âge chronologique des individus détermine fortement le risque d’hospitalisation et de décès. Parallèlement, le temps écoulé depuis la contamination conditionne le niveau de contagiosité de chaque malade.
Le modèle intègre également les différents stades cliniques de l’infection : les formes sévères, les formes modérées et les cas paucisymptomatiques.
À partir de cette architecture, les chercheurs ont calculé une loi de commande optimale pour réduire les contacts sociaux. L’objectif retenu n’était pas de freiner le nombre total de cas, mais de minimiser le nombre de morts.
Le résultat mathématique est sans appel : il faut concentrer les restrictions très rapidement sur les tranches d’âge les plus âgées et vulnérables.
Fait surprenant, cette mesure ciblée n’a pas besoin de s’éterniser. À coût identique pour la collectivité, cette stratégie réduit les décès de quatre-vingt-douze pour cent par rapport à un confinement généralisé.
Par ailleurs, une analyse comparée entre la France, le Vietnam et le Burkina Faso prouve qu’aucune recette n’est universelle. Chaque pays possède une pyramide des âges et des habitudes sociales propres qui exigent des politiques sanitaires sur mesure.
Dynamique évolutive et compétition des pathogènes en agronomie
Les modèles structurés s’avèrent tout aussi précieux en agronomie pour comprendre les épidémies qui touchent les cultures.
Dans un champ, des spores fongiques contaminent les feuilles saines. Chaque feuille atteinte traverse plusieurs cycles de sporulation avant de se dessécher et de se nécroser.
Pour décrire ce phénomène, le mathématicien bâtit des équations intégro-différentielles à triple structure : le temps, l’âge de l’infection foliaire et le type de pathogène.
En effet, lors de la reproduction, de légères mutations génèrent en permanence de nouvelles variantes. Le pathogène évolue constamment, rendant caduques les méthodes de lutte figées.
L’étude mathématique permet d’isoler une fonction dite de fitness, qui résume le pouvoir reproducteur global de chaque souche. Sous la pression sélective, la population migre progressivement vers les caractéristiques offrant la meilleure descendance.
Que se passe-t-il si deux souches concurrentes affichent exactement la même fonction de fitness ? Le principe classique d’exclusion par compétition ne permet plus de les départager.
En poussant les calculs jusqu’au second ordre, les chercheurs révèlent un critère géométrique fascinant. La souche gagnante est celle dont le sommet de fitness est le plus plat, car elle résiste mieux aux mutations aléatoires.
Interdisciplinarité et défis de la recherche mathématique
Les échanges avec l’auditoire permettent d’explorer la réalité quotidienne du travail de recherche en biomathématiques.
Le docteur Djidjou-Demasse appelle à dépasser le clivage stérile entre mathématiques pures et mathématiques appliquées. La confrontation directe avec les problèmes du vivant oblige sans cesse à inventer de nouveaux outils théoriques.
Pour réussir ce dialogue interdisciplinaire, biologistes et mathématiciens doivent chacun faire la moitié du chemin. Il n’est pas nécessaire de maîtriser tout le jargon de l’autre pour collaborer efficacement.
Sur le plan technique, la résolution numérique des équations aux dérivées partielles demeure complexe. Faute de solveurs universels prêts à l’emploi, les chercheurs écrivent leurs propres schémas numériques, souvent basés sur la méthode des volumes finis.
L’accès libre aux données cliniques et aux codes sources en science ouverte garantit ensuite la reproductibilité des résultats et prévient les dérives.
Enfin, l’intervenant salue le dynamisme de son équipe de recherche à Thiès et plaide pour une mobilisation accrue afin d’attirer davantage de jeunes femmes vers les filières mathématiques.
Source de la conférence : CONFERENCE SCIENTIFIQUE : « Modèles structurés et applications en dynamique des populations »
